[회로이론] 2. 정현파 교류

1) 정현파(Sinusoid) 교류

정현파 교류는 아래와 같이 표현된다.

\[v=V_m\sin(\omega t+\theta)\]

여기서, \(V_m\)는 최대값(maximum value), \(\omega\)는 각주파수(angular frequency), \(\theta\)는 위상(phase)이다. 순시값(instantaneous value)은 순간적인 값을 말하며, 위의 \(v\)에 관한 식에서 특정 시간의 값인 순시값을 얻을 수 있다.

\[\omega\ [\textrm{rad/s}]=\frac{2\pi}{T}\ [\textrm{rad/s}]=2\pi f\ [\textrm{rad}\cdot\textrm{Hz}]\]

여기서, \(T\)와 \(f\)는 각각 주기(period)와 주파수(frequency)이다.

 

 

2) 주기함수(Periodic Function)의 평균값과 실효값

주기가 \(T\)인 주기함수 \(f\)의 평균값(average value)은 아래식을 이용하여 구할 수 있다.

\[f_{avg}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\]

실효값(effective value)은 아래와 같다.

\[f_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f^2(t)dt}\]

정현파 교류의 평균값은 위의 식을 적용하여 구할 수 있다.

\[V_{avg}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v(t)dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_m\sin(\omega t)dt\]

\[V_{avg}=\frac{1}{\omega T}\int_{0}^{\omega T}V_m\sin(\omega t)d\omega t=\frac{V_m}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta d\theta\]

\[V_{avg}=\frac{V_m}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta d\theta=\frac{V_m}{2\pi}\left[-\cos\theta\right]_{0}^{2\pi}=\frac{V_m}{2\pi}(-\cos2\pi+\cos0)=0\]

위의 결과에서 알 수 있듯이 정현파의 주기에 대한 평균값은 0이다. 그래서 정현파의 평균값은 아래와 같이 반주기에 대한 평균값으로도 나타낸다.

\[V_{avg}=\frac{V_m}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta=\frac{V_m}{\pi}\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi}=\frac{V_m}{\pi}(-\cos\pi+\cos0)=\color{red}\frac{2V_m}{\pi}\]

우리가 사무실이나 가정에서 사용하는 220V는 실효값 표현이다. 교류전압 \(v\)의 실효값은 교류전압이 한 일을 직류전압이 한 일로 환산할 때 계산되는 직류전압 \(V\)의 크기이다.

\[\frac{V^2}{R}T=\frac{1}{R}\int_{0}^{T}v^2dt\]

\[V=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^2dt}\]

실효값은 아래와 같이 구할 수 있다.

\[V=V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^2(t)dt}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_m^2\sin^2(\omega t)dt}\]

\[V=\sqrt{\frac{1}{\omega T}\int_{0}^{\omega T}V_m^2\sin^2(\omega t)d\omega t}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta d\theta}\]

계산을 용이하게 하기 위해 아래의 삼각함수의 합차공식(angle sum and difference identities)을 이용한다.

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]

피적분 함수는 아래와 같이 변형이 가능하다.

\[\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta\]

\[\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}\]

실효값은 아래와 같이 표현가능하다.

\[V=\sqrt{\frac{V_m^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos2\theta}{2}d\theta}=\sqrt{\frac{V_m^2}{4\pi}\left[\theta-\frac{\sin2\theta}{2}\right]_{0}^{2\pi}}\]

\[V=\sqrt{\frac{V_m^2}{4\pi}\cdot2\pi}=\color{red}\frac{V_m}{\sqrt{2}}\]

 

 

3) 파고율(Crest Factor)과 파형율(Form Factor)

파고율(\(k_a\))과 파형율(\(k_f\))은 각각 아래와 같다.

\[k_a=\frac{V_m}{V_{rms}} \quad \textrm{and} \quad k_f=\frac{V_{rms}}{V_{avg}}\]