[회로이론] 3. 복소수와 페이저

1) 복소수(Complex Number)의 표현

복소수는 아래와 같이 실수와 허수의 합으로 표현되며, 이러한 표현을 직교좌표형식(Cartesian form)이라 한다.

\[c=a+jb\]

여기서, a는 실수부(real part), b는 허수부(imaginary part)라고 한다.

\[a=\textrm{Re}\{c\}\quad\textrm{and}\quad b=\textrm{Im}\{c\}\]

복소수를 크기(magnitude)와 각도(angle)로 표현할 수 있는데, 이러한 표현을 극좌표형식(polar form)이라 한다.

\[c=r\angle{\theta}\]

아래식을 이용해서 직교좌표형식을 극좌표형식으로 변환할 수 있다.

\[r=\sqrt{a^2+b^2}\quad\textrm{and}\quad\theta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\]

반대로, 극좌표형식을 직교좌표형식으로 변환할 수도 있다.

\[c=r(\cos\theta+j\sin\theta)\]

참고로, 아래의 오일러 공식(Euler's formula)를 이용하면 지수표현도 가능하다.

\[e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\]

복소수의 표현을 정리하면 아래와 같다.

\[r\angle{\theta}=r(\cos\theta+j\sin\theta)=re^{j\theta}\]

 

 

2) 복소수의 사칙연산

\[a_1+jb_1+a_2+jb_2=(a_1+a_2)+j(b_1+b_2)\]

\[a_1+jb_1-(a_2+jb_2)=(a_1-a_2)+j(b_1-b_2)\]

복소수의 곱셈과 나눗셈은 지수표현을 이용하면 계산이 용이하다.

\[r_1e^{j\theta_1}\cdot r_2e^{j\theta_2}=r_1r_2e^{j(\theta_1+\theta_2)}\]

\[\frac{r_1e^{j\theta_1}}{r_2e^{j\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{j(\theta_1-\theta_2)}\]

 

 

3) 페이저(Phasor)

페이저는 정현파 교류를 복소수로 표현하는 방법이다.

\[v=V_m\sin(\omega t+\theta)=V\sqrt{2}\sin(\omega t+\theta)=\textrm{Im}\{V\sqrt{2}e^{j(\omega t+\theta)}\}\]

위의 정현파 교류전압을 페이저로 변환하면 아래와 같이 표현된다.

\[V_\omega=Ve^{j\theta}=V\angle{\theta}\]

페이저는 주기가 동일한 정현파 교류들 사이의 연산시에 매우 유용한다.