전자기학 정리(1)

1) 벡터(Vector)의 내적(Dot Product)과 외적(Cross Product)

두 벡터 \(\mathbf{a}=[a_x, a_y, a_z]\)와 \(\mathbf{b}=[b_x, b_y, b_z]\)의 내적은 아래와 같으며, 결과값은 스칼라(scalar)이다.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\]

여기서, \(\theta\)는 두 벡터의 사이각이다. 외적은 아래와 같이 표현되며, 결과값은 벡터이다.

\[\mathbf{a}\times\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\ \mathbf{n}=(a_yb_z-a_zb_y)\mathbf{i}+(a_zb_x-a_xb_z)\mathbf{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\mathbf{k}\]

여기서, \(\mathbf{n}\)는 두 벡터에 공통으로 수직이며 오른손 법칙(right-hand rule)을 따르는 단위벡터이며, \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\)는 각각 축 x, y, z의 단위벡터이다. 벡터의 외적계산시에 행렬식을 이용하면 편리하게 계산할 수 있다.

\[\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det\begin{bmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{bmatrix}\]

 

 

2) 벡터의 미분

3차원 공간에서 델(del) 연산자는 아래와 같이 정의된다.

\[\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\]

기울기(gradient)는 스칼라 함수(스칼라장) \(f(x,y,z)\)에 대해서 아래와 같이 정의된며, 결과값은 벡터 함수가 된다.

\[grad\ f=\nabla f=(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k})f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}\]

발산(divergence)는 벡터 함수(벡터장) \(\mathbf{f}(x,y,z)\)에 대해서 아래와 같이 내적으로 정의된며, 결과값은 스칼라 함수가 된다.

\[div\ \mathbf{f}=\nabla\cdot\mathbf{f}=(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k})\cdot(f_x\mathbf{i}+f_y\mathbf{j}+f_z\mathbf{k})=\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y}+\frac{\partial f_z}{\partial z}\]

회전(curl)는 벡터 함수(벡터장) \(\mathbf{f}(x,y,z)\)에 대해서 아래와 같이 외적으로 정의된며, 결과값은 벡터 함수가 된다.

\[curl\ \mathbf{f}=\nabla\times\mathbf{f}=(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k})\times(f_x\mathbf{i}+f_y\mathbf{j}+f_z\mathbf{k})\]

\[curl\ \mathbf{f}=(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z})\mathbf{i}+(\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x})\mathbf{j}+(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y})\mathbf{k}\]

 

 

3) 벡터의 적분

스토크스의 정리(Stokes' theorem)는 3차원 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 해당 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면의 면적분으로 변환될 수 있다는 정리이다.

\[\oint_{C}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{s}(\nabla\times\mathbf{f})\cdot d\mathbf{s}\]

가우스의 발산 정리(Gauss' divergence theorem)는 3차원 공간상의 폐곡면에서 수행되는 면적분은 해당 폐곡면이 둘러싼 체적의 체적적분으로 변환될 수 있다는 정리이다.

\[\oint_{s}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{s}=\iiint_{v}(\nabla\cdot\mathbf{f})dv\]