[회로이론] 5. 공진

1) RLC 직렬회로의 공진

저항((R), 인덕턴스(L), 커패시턴스(C)가 직렬로 연결된 회로를 RLC 직렬회로라고 한다. 합성 임피던스는

\[Z=R+jX_L+jX_C=R+j\omega L-j\frac{1}{\omega C}=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})\]

해당 회로에 정현파 교류전압를 인가하면

\[V_\omega=V\angle{0}=V\]

\[I_\omega=\frac{V_\omega}{Z}=\frac{V}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}=\frac{V}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}\frac{R-j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}{R-j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}=\frac{V(R-j(\omega L-\frac{1}{\omega C}))}{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}\]

\[I_\omega=\frac{V\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}}{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}\angle{\tan^{-1}\left(-\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right)}\]

위의 식에서 확인할 수 있듯이 전류가 최대가 되기 위해서는 임피던스가 최소가 되어야 한다. 임피던스는 주파수의 함수이며 임피던스가 최소가 될 때, 즉 리액턴스가 0이 되는 주파수를 공진 주파수(resonance frequency)라고 한다.

\[\color{red}\omega_r L=\frac{1}{\omega_r C}\ \Rightarrow\ \omega_r=\sqrt{\frac{1}{LC}}\]

\[I_\omega=\frac{V\sqrt{R^2}}{R^2}\angle{\tan^{-1}\left(-\frac{0}{R}\right)}=\frac{V}{R}\]

공진 주파수 입력으로 출력이 최대가 되는 것을 공진(resonance)이라고 한다.

 

 

2) RLC 병렬회로의 공진

저항((R), 인덕턴스(L), 커패시턴스(C)가 병렬로 연결된 회로를 RLC 병렬회로라고 한다. 합성 임피던스는

\[\frac{1}{Z}=\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_L}+\frac{1}{jX_C}=\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}-\frac{\omega C}{j}=\frac{1}{R}+j(\omega C-\frac{1}{\omega L})\]

\[Z=\frac{1}{\frac{1}{R}+j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}=\frac{1}{\frac{1}{R}+j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}\frac{\frac{1}{R}-j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}{\frac{1}{R}-j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}\]

\[Z=\frac{\frac{1}{R}-j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}{\frac{1}{R^2}+(\omega C-\frac{1}{\omega L})^2}\]

해당 회로에 정현파 교류전류를 인가하면

\[I_\omega=I\angle{0}=I\]

\[V_\omega=I_\omega Z=I\frac{\frac{1}{R}-j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}{\frac{1}{R^2}+(\omega C-\frac{1}{\omega L})^2}=\frac{I\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C-\frac{1}{\omega L})^2}}{\frac{1}{R^2}+(\omega C-\frac{1}{\omega L})^2}\angle{\tan^{-1}\left(R(\frac{1}{\omega L}-\omega C)\right)}\]

위의 식에서 전압이 최대가 되기 위해서는 임피던스가 최대가 되어야 하며 공진 주파수는

\[\color{red}\omega_r C=\frac{1}{\omega_r L}\ \Rightarrow\ \omega_r=\sqrt{\frac{1}{LC}}\]

\[V_\omega=\frac{I\sqrt{\frac{1}{R^2}}}{\frac{1}{R^2}}\angle{0}=IR\]

 

 

3) 품질 인자(Quality Factor)

양호도라고도 하며 공진 회로의 주파수 응답곡선의 첨예도를 나타낸다. RLC 직렬회로의 공진상태에서 품질 인자는

\[Q=\frac{V_L}{V}=\frac{V_C}{V}=\frac{\omega L}{R}=\frac{1}{\omega CR}=\color{red}\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\]

RLC 병렬회로의 공진상태에서 품질 인자는

\[Q=\frac{I_L}{I}=\frac{I_C}{I}=\frac{R}{\omega L}=\omega CR=\color{red}R\sqrt{\frac{C}{L}}\]