[회로이론] 7. 유도결합회로

1) 자기 인덕턴스(Self Inductance)

코일에 전류가 흐르면 자기장이 발생하는데 발생하는 자속(magnetic flux) \(\phi\)의 크기는 아래와 같다.

\[N\phi=LI\]

여기서, N은 권선수, L은 자기 인덕턴스, I는 전류이다. 자기 인덕턴스는 권선수의 제곱에 비례하고 자기저항(reluctance)에 반비례하는 성질이 있다.

\[L=N^2/R_m\]

코일에서 발생되는 기전력과 축정되는 에너지는

\[v=N\frac{d\phi}{dt}=L\frac{di}{dt}\]

\[w=\int_0^tp\ dt=\int_0^tvi\ dt=\int_0^tL\frac{di}{dt}i\ dt=\int_0^ILi\ di=\frac{1}{2}LI^2\]

 

 

2) 상호 인덕턴스(Mutual Inductance)

2개의 코일이 인접해 있으면 서로 영향을 주게되는데, 1차 코일에 전류가 흘러서 자속이 발생하게 되면 해당 자속이 모두 2차 코일에 유입된다면

\[\phi=\frac{L_1I_1}{N_1}\]

\[v_2=N_2\frac{d\phi}{dt}=\frac{N_2L_1}{N_1}\frac{di_1}{dt}=\frac{N_1N_2}{R_m}\frac{di_1}{dt}=M\frac{di_1}{dt}\]

여기서, M은 상호 인덕턴스이다. 상호 인덕턴스를 자기 인덕턴스로 표현하면

\[M=\sqrt{\frac{N_1^2N_2^2}{R_m^2}}=\sqrt{L_1L_2}\]

하지만 일반적으로 1차 코일에 의해 발생된 자속이 모두 2차 코일로 유입되지 않고 누설되므로

\[M=k\sqrt{L_1L_2} \quad (0\leq k\leq 1)\]

여기서, k는 결합계수(coupling coefficient)이다.

 

 

3) 인덕턴스 접속

2개의 코일이 직렬접속되었고 감겨있는 방향이 같은 방향(가동접속)인 경우

\[\phi=\phi_1+\phi_2\]

\[v_1=N_1\frac{d\phi}{dt}=N_1(\frac{d\phi_1}{dt}+\frac{d\phi_2}{dt})=L_1\frac{di_1}{dt}+N_1\frac{L_2}{N_2}\frac{di_2}{dt}=L_1\frac{di_1}{dt}+M\frac{di_2}{dt}\]

\[v=v_1+v_2=(L_1+M)\frac{di}{dt}+(L_2+M)\frac{di}{dt}=(L_1+L_2+2M)\frac{di}{dt}\]

\[\color{red}L=L_1+L_2+2M\]

반대 방향(차동접속)인 경우

\[\phi_{12}=\phi_1-\phi_2\quad \textrm{and} \quad \phi_{21}=\phi_2-\phi_1\]

\[\color{red}L=L_1+L_2-2M\]

다음으로 2개의 코일이 병렬접속되었고 감겨있는 방향이 같은 방향(가동접속)인 경우에 합성인덕턴스 L을 구한다. 조건식은 다음과 같다.

\[i'=i_1'+i_2'\]

\[v=L_1i_1'+Mi_2'\]

\[v=L_2i_2'+Mi_1'\]

\[v=Li'\]

1번 전류의 미분값을 2번 전류의 미분값으로 나타내면

\[i_1'=\frac{v-Mi_2'}{L_1}\]

\[v=L_2i_2'+M\frac{v-Mi_2'}{L_1}=L_2i_2'+\frac{Mv-M^2i_2'}{L_1}\]

\[(1-\frac{M}{L_1})v=(L_2-\frac{M^2}{L_1})i_2'\ \Rightarrow (L_1-M)v=(L_1L_2-M^2)i_2'\]

동일한 방법으로 2번 전류의 미분값을 1번 전류의 미분값으로 표현가능하다. 정리하면

\[v=Li'=L(i_1'+i_2')=L\left(\frac{L_2-M}{L_1L_2-M^2}+\frac{L_1-M}{L_1L_2-M^2}\right)v=L\left(\frac{L_1+L_2-2M}{L_1L_2-M^2}\right)v\]

\[\color{red}L=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\]

반대 방향(차동접속)인 경우

\[\color{red}L=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}\]

 

 

4) 이상 변압기(Ideal Transformer)

결합계수가 1인 변압기를 이상 변압기라고 한다.

\[v_2=\frac{N_2}{N_1}v_1\quad \textrm{and} \quad i_1=\frac{N_2}{N_1}i_2\]

여기서, \(N_2/N_1\)을 권수비(turns ratio)라고 한다.

\[a=\frac{N_2}{N_1}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{i_1}{i_2}=\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}=\sqrt{\frac{|Z_2|}{|Z_1|}}\]

 

 

5) 캠벨 브리지(Campbell Bridge)

\[C=\frac{1}{\omega^2M}\]